Não, não tem IR nos proventos. Mesmo sendo misto, é misto de coisas consideradas imobiliárias e por isso é isento (a maioria das coisas).
FII de FII paga IR sobre ganho de capital, quanto tem lucro na *venda* de cotas. Rendimentos de FII, CRI, LH, LCI e SPEs imobiliárias são isentos dentro de FIIs e em FIIs de FIIs.
Da última ver primeira resposta: misto de coisas isentas ainda é isento.
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