DETERMINANTES DE MATRIZES. Dúvida de matemática...
comentada em 06/07/2020 13:31

@laotzu vc tá a fim de estudar matemática hein?

Eu nunca fui fã dessas contas de matriz, mas essa área é importante pra caramba e bastante abrangente.

Chama Álgebra linear, carinhosamente chamada Algelin. Dá uma pesquisada sobre isso. Outras palavras-chave: vetores, bases e mudanças de base, autovalores e autovetores.

Ótima pergunta! Eu sempre tive essa dúvida, e só fui ganhar intuição por determinantes na faculdade de matemática pura.
Tem 2 jeitos de entender o que é o determinante de uma matriz:

1. As colunas de uma matriz n X n são sequências de n números, que podem ser consideradas como vetores em um espaço n-dimensional. Esses vetores formam um paralelepípedo. O determinante é o "volume orientado" desse paralelepípedo.
Por exemplo: se for a matriz identidade o paralelepípedo é na verdade um cubo, então o volume é 1. Se você trocar 2 colunas na matriz identidade, o paralelepípedo fica "desorientado", então o volume fica -1.
Essa intuição explica as aplicações de determinante em física. 

2. O determinante é a única função que mapeia matrizes n X n para um único número real que satisfaz algumas condições. 
i) det (A X B) = det A * det B
ii) det (I) = 1
iii) det (A') = - det(A) 
onde A' é a matriz A trocando 2 colunas. 
O jeito sofisticado de dizer isso é que o determinante é o único homomorfismo de matrizes pra números reais que além disso é um tensor antissimétrico. 

Então quando você aprende uma fórmula maluca de calcular o determinante, a "coisa" que a fórmula  estava querendo calcular com essa fórmula é esse conceito acima. 

De alguma forma, o determinante de uma matriz é a melhor representação da geometria dela em 1 dimensão.

Dá para citar várias utilidades. No ensino médio o que eu consigo pensar é resolver sistemas de equações lineares.

O determinante é importante também para saber se uma matriz é inversivel ou não. Se o determinante for 0, então a matriz possui inversa, caso contrário não possui.

Em Álgebra linear fica mais interessantes as coisas. A gente usa determinante em problemas de autovalores e autovetores e diagonalizaçao de operadores. Só para você entender mais ou menos, a gente pode diagonalizar uma matriz e fazer cálculos MUITO mais rápidos e assim até otimizar algoritmos.

Um exemplo de uso de matriz é em jogos. Você pode definir um operador de rotação dado por uma matriz, e sempre que aplicar esse operador em um ponto o mesmo vai rotacionar no espaço. Imagina quantos cálculos como esse são feitos em jogos... Tudo isso você faz com álgebra linear.

Você tá empolgado mesmo ou tá escrevendo um livro sobre aplicações da Matemática? 

kkkkk

Determinantes ajudam muito para resolver equações diferenciais lineares (ou indicar que não tem solução).

Equações diferenciais são praticamente a base da engenharia. Todo problema no mundo real que tenha uma variação vai ser modelado na forma de um sistema de equações diferenciais, para que se possa achar a solução. E para achar a solução desse sistema você se vale dos artifícios matemáticos, dos quais um deles é o cálculo de determinantes.

@laotzu pelos seus últimos posts vi q vc tá querendo aprender matemática e tal. Como você eh médico tem um site onde eu faço alguns cursos q pode te interessar. (Não trabalho pra eles não só tô falando pq acho de Boa qualidade os cursos haha).

Esse formacao aqui eh bem interessante  para você. Nele tem uns cursos de matemática e estatística q cobrem quase tudo (Ou tudo ate) da parte necessaria dessas matérias. 


Sobre a aplicação de determinantes. São muito importantes em autovetores e autovalores. Na estatística eh usado em planejamento de experimentos, sistemas lineares, redes neurais. 

Bons estudos.

Formacao IA Aplicada a Medicina

Dá um google, jovem.

 

Blog | Professores de Plantão

 

Quase tudo no processamento de sinais e automação de sistemas utiliza operação matricial, por exemplo.

Por favor, alguém passa esse tópico para TECNOLOGIA. Está meio no lugar errado....

A física do ciclo básico de um curso superior em exatas depende das ferramentas de cálculo (derivadas e integrais) e de álgebra linear e geometria analítica (vetores, matrizes).
Um dos melhores exemplos da simplificação dessa matemática para o ensino médio é a regra da mão direita. Na verdade essa regra é o produto vetorial, calculado com matrizes.
Outro exemplo é a força centrípeta, que vem da variação vetorial da aceleração

Se vc é médico e está interessado na área de exatas de ensino superior eu acho ótimo estudar bastante matrizes e depois derivadas e integrais. 90% do conteúdo de engenharia precisa dessas ferramentas.
Uma forma de absorver bem fácil é estudando física. Dá um sentido mais real para essas ferramentas. Gosto do Halliday

O determinante é importante para saber se um sistema de equações é linearmente independente ou não (se tem solução única, através da inversão da matriz por exemplo).

Em aplicações de engenharia as matrizes são formas matemáticas de representação de tensores. Representam o estado das tensões internas em um ponto do material que quando multiplicadas por um vetor de direção expressam o estado das tensões naquela direção naquele ponto.

Além disso são usadas para representação do estado cinemático em estudo de dinâmica de sólidos e fluidos.

Além disso o cálculo de determinante é fundamental para cálculo de autovalores e auto vetores que permitem análise modal e estudo das vibrações além de estudo de rotodinâmica.

Nesse site tem algumas aplicações em engenharia das coisas que não existem (eletricistas e eletrônicos)

 

8. Applications of Eigenvalues and Eigenvectors

São fundamentais também na interação entre geofísica e engenharia de petróleo para encontrar reservas em fase exploratória.

 



Oil companies frequently use eigenvalue analysis to explore land for oil. Oil, dirt, and other substancesall give rise to linear systems which have different eigenvalues, so eigenvalue analysis can give a goodindication of where oil reserves are located. Oil companies place probes around a site to pick up thewaves that result from a huge truck used to vibrate the ground. The waves are changed as they passthrough the different substances in the ground. The analysis of these waves directs the oil companies topossible drilling sites.There are many more uses for eigenvalues, but we only wanted to give you a sampling of their uses.When you study science or engineering in college, you will become quite familiar with eigenvalues andtheir uses. There are also numerical difficulties that can arise when data from real-world problems areused. 
 




 

Esquece isso, só serve pra resolver problemas que a matemática mesmo inventou. Necessidade disso no ensino médio é zero, não sei pq faz parte do currículo.

Infelizmente nunca encontrei o que você busca nos livros. Mas sobre a utilidade é mais tranquilo. Determinante serve pra você identificar se a inversa de uma matriz existe ou não e se um sistema de equações tem uma solução única ou não ("o determinante 'determina' se uma matriz quadrada é ou não é não-singular").
Além de ser útil pra solucionar com mais facilidade sistemas de equações, também auxilia, através da análise do sinal do determinante, a solução de problemas de maximização.
Sobre a forma de cálculo, eu penso sempre que o determinante é definido indutivamente. Existe a definição para matrizes 1x1, que você usa para encontrar o determinante de matrizes 2x2, que você usa para encontrar o determinante de matrizes 3x3, ... etc.

@itagsi Meus professores de cálculo (I, II e III) defendiam que não servia para nada, EXCETO estimular o raciocínio lógico e a capacidade de resolver problemas. Claro que tinha o lado matemático (contas e tal), mas de acordo com a resposta que os 3 me deram esse tipo de 'conhecimento' exercitava uma parte diferente do cérebro. Mesma coisa com logaritmos.

Aliás nunca soube se isso é verdade ou não, já que os 3 me deram a mesma resposta. As vezes é só trollagem do departamento de matemática...

Uma forma intuitiva de interpretar isso é... se você enxergar a matriz como uma transformação de um espaço vetorial, o determinante é o fator de multiplicação da área de deformação dos objetos dentro desse espaço.

Ex. pega um espaço vetorial criado pelas bases {(1,0) (0,1)}, uma matriz com essas colunas representa nosso espaço 2D tradicional, agora imagina nesse plano cartesiano um monte de ponto:

(0,1) (0,2), (0,3)... (1,0) (1,1), (1,2), ...,

uma multiplicação por uma matriz vai mudar esses pontos de posição de alguma forma. Se você tivesse escolhido 4 pontos nesse plano e calculado uma área A, após a multiplicação da matriz que representa o espaço vetorial por uma matriz B esses 4 pontos mudariam de lugar e a nova área representada pelos 4 seria (detB) * A.
Observa que se detB fosse zero, a área iria pra zero, ou seja o plano foi esmagado numa linha (ou ponto) por isso que det = 0 mostra que a matriz não tem inversa, porque a transformação que ela realiza tira dimensões, então não tem como fazer uma inversa que 'coloca dimensões' de volta.

Parece meio esotérico mas é que escrevendo sem desenhar fica meio ruim de entender, mas num quadro isso fica mais claro.

Tá em inglês mas tem legenda em português, recomendo o canal todo na realidade kkkk é muito bom.

Aí utilidade prática, na computação gráfica tudo meio que é realizado por transformações usando matrizes, na robótica você poderia representar movimentos por multiplicações de matrizes, etc.
E nas outras áreas tudo você tenta transformar em sistemas lineares e usa... matrizes!
E mesmo que implicitamente você vai acabar usando muito mais algebra linear que cálculo porque até os métodos numéricos pra resolver as integrais num computador usam... matrizes.

Uma aplicacao de determinantes é resolver sistemas lineares. Ajuda a formular algoritmos computacionais para resolver essas equações. A ciência básica não é inútil, cuidado com esse tipo de afirmação. 

Regra de Cramer – Wikipédia, a enciclopédia livre

A grande questão pra começar a entender melhor isso é começar a enxergar a multiplicação de matrizes (ou matrizes mesmo num geral) como maneiras de realizar combinações lineares (tanto de colunas quanto de linhas) e ampliar sua intuição para enxergar esses espaços vetoriais representados por elas.

@laotzu, vejo que está bastante interessado em matemática / física avançada.

Não sei se já ouviu falar nos " Problemas do Milenium". São uma série de problemas matemáticos que até hoje não tem solução... alguns deles já estão sem solução a centenhas de anos.

São eles:

-P versus NP
-A conjectura de Hodge
-A conjectura de Poincaré (resolvido recentemente)
-A hipótese de Riemann
-A existência de Yang-Mills e a falha na massa
-As equações de Navier-Stokes
-A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer


Desses todos acho que os mais conhecidos são o P versus NP (equacionamento dos numeros primos) e o Navier-Stokes ( equações de mecânica dos fluidos).

@luizatv Por curiosidade fui pesquisar a resolução da conjectura de Poincaré e me deparei com a espetacular história de Perelman, que solucionou o problema e recusou o prêmio de 1 milhão de dólares, chegou a citar "A monetização do êxito é o máximo insulto à matemática."

Achei esse documentário que explica bem o que aconteceu, sensacional:

Serve para resolver sistemas de equações.

ex 
2x + y - z = 12
-x + 3y - 4z = -1
7x + y - z = 3

Isso é usado em sistemas de controle, com realimentação por exemplo (parte da saída é realimentada na entrada para manter o equilíbrio)

Assim, basicamente se usa isso em tudo. Controle de tração, níveis de tanques... tem muita aplicação.

Aqui um bom exemplo 

http://www.mtm.ufsc.br/~daniel/7105/Maria_Regina_Nunes_Lamin.PDF

Outra aplicação é em álgebra linear.

Na verdade Serve pada qq situação em que você tenha um punhado de equações lineares e quer encontrar a solução delas.

Na sua área por ex, para balancear equações químicas.

mas tem aplicação em tudo que envolva solução de sistemas lineares 

Pessoal as respostas ajudaram....
Foi só uma empolgação que me apareceu para pensar em outras coisas relacionadas à profissão. Uma espécie de fulga do estresse, que está muito elevado...
Eram dúvidas muito antigas que eu tinha sobre matemática.

Aparentemente, pelo que vocês falaram, serve para todas as aéreas da física (que desconheço) que se valem de álgebra linear, qualquer área que necessite de algum grau de organização de dados, e vetorialização (geometrização) de informações.

Foi bom conversar com vocês. Vou guardar alguns tópicos. Vou guardar esse grande tópico na memória e lembrar dele quando usar a busca do site.

Talvez psicologicamente eu esteja buscando incentivar uma vocação mental antiga e exercê-la como trabalho, assim como fez o @ThiagoDV, reduzindo a carga do trabalho original pelo aprendizado de linguagem de programação.