Matemática é inventada, descoberta, ou ambos ?
comentada em 20/06/2024 09:27

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Geralmente, as respostas para essa pergunta se dividem em dois grandes grupos e esses grupos, por sua vez, dependem da visão de mundo do respondente. Em geral, se o respondente parte de premissas filosóficas materialistas (a realidade última é composta exclusivamente pela matéria), ele tenderá a dizer que a matemática é inventada. Ainda em geral, se o respondente parte de premissas filosóficas idealistas (a realidade última é composta por algo além da matéria), ele tenderá a dizer que a matemática é descoberta. 
Eu, particularmente, estou convencido de que as premissas idealistas explicam a realidade dos fatos com mais precisão. Logo, defendo que a matemática é descoberta. 
Apesar de expor minha visão, não argumentei adequadamente para não deixar o comentário ainda mais extenso. 

PS: obviamente, a notação matemática é uma convenção (e, portanto, inventada). Mas a parte importante da matemática (os conceitos matemáticos) é descoberta.

PS2: o teorema da incompletude de Gödel seria um desafio para a visão “a matemática é descoberta”.

Is Mathematics Invented or Discovered? | Roger Penrose

Nossa, eu tive essa discussão com colegas do mestrado. Não conseguimos chegar a nenhuma conclusão hahaha

Meus dez centavos: todo construto humano é uma limitada tentativa de explicar a realidade.

Alguns são mais aderentes à realidade. Outros são delírios.

A matemática é só uma linguagem bastante coerente com as coisas. As coisas são as coisas.

Dualidade entre númeno, aquilo que é, e fenômeno, aquilo que aparece para nós, que nossos sentidos alcançam, podemos perceber ou medir com nossas máquinas atuais.

Meio platônico, mas gosto desse jeito de pensar a existência.

A matemática é a realidade mais exata que temos para o momento. Mas não exatamente precisa.

Um professor meu, Fausto Castilho, uma vez disse em aula: preciso é conceito, número é apenas exato. Destruiu, com uma frase, todas as minhas certezas.

Quem faz conta não entende o conceito, quem entende o conceito não precisa fazer conta

Mais em: "Gödel Escher Bach: an eternal golden braid" 

By exploring common themes in the lives and works of logician Kurt Gödel, artist M. C. Escher, and composer Johann Sebastian Bach, the book expounds concepts fundamental to mathematics, symmetry, and intelligence. Through short stories, illustrations, and analysis, the book discusses how systems can acquire meaningful context despite being made of "meaningless" elements. It also discusses self-reference and formal rules, isomorphism, what it means to communicate, how knowledge can be represented and stored, the methods and limitations of symbolic representation, and even the fundamental notion of "meaning" itself.
 
In response to confusion over the book's theme, Hofstadter emphasized that Gödel, Escher, Bach is not about the relationships of mathematics, art, and music—but rather about how cognition emerges from hidden neurological mechanisms. One point in the book presents an analogy about how individual neurons in the brain coordinate to create a unified sense of a coherent mind by comparing it to the social organization displayed in a colony of ants.[1][2]
 
Gödel, Escher, Bach won the Pulitzer Prize for general non-fiction[3] and the National Book Award for Science Hardcover.[4][a] Despite the success of the book, Hofstadter felt that audiences did not adequately grasp what he felt was the main idea of the book: strange loops. In an attempt to remedy this, he published I Am a Strange Loop in 2007.

Como vejo a sabedoria humana:



Quem chegar primeiro ganha um queijo.

A realidade é infinita, nós somos finitos.

Mais do que infinita, a realidade é densa. Entre quaisquer dois pontos da realidade, existe uma infinidade de realidade.

Não é que nossa compreensão seja limitada no sentido de que temos algumas peças de um quebra-cabeças gigante.

Nossa compreensão é limitada no sentido de que não temos peça alguma. Cada peça é infinita.

Temos o fantasma de uma pecinha, uma redução finita que criamos. E achamos que é a peça porque termos essa pecinha nos permite gerar o que nos parece efeitos reais.

Discutir se a matemática é descoberta ou inventada pra mim não faz sentido porque nem a realidade (que compreendemos) é a realidade, nem aquilo que inventamos deixa de ser real (para a realidade que compreendemos).

É inventada. Matemática é uma filosofia, não é uma ciência. É um construto da abstração humana, idealização suprema que, como tal, é Incompleta (sempre produz problemas que seu próprio sistema formal, seja ele qual for, é incapaz de resolver). Gödel provou isso, como foi citado aí em cima. 
Entender o princípio da Incompletude e continuar amando a matemática (ou ama-la ainda mais) é uma prova de fogo para os amadores nesta filosofia.

"O mundo é a totalidade dos fatos, não das coisas"
L. Wittgenstein 

Descoberta, assim como dizem que o fogo foi descoberto. As fórmulas matemáticas são inerentes à estrutura abstrata e coerente do universo. Existem, independentemente de qualquer formulação explícita em algum suporte material ou humano. 

É, mais ou menos, como as descobertas da roda, do fogo ou da fissão nuclear. Todas essas coisas preexistiam como possibilidade na estrutura abstrata e lógica do universo, mas dependiam, para serem evidenciadas externamente, de desenvolvimentos em suporte material ou humano.

Acho que por não existir no mundo real, a matemática é inventada, enquanto a física é descoberta.

postado por @MarkFord em 06/03/2024 07:29

É, mais ou menos, como as descobertas da roda, do fogo ou da fissão nuclear. Todas essas coisas preexistiam como possibilidade na estrutura abstrata e lógica do universo, mas dependiam, para ser evidenciadas externamente, de desenvolvimentos em suporte material ou humano. 

No caso, o fogo e a fissão existem no mundo com ou sem o ser humano. Já a roda (a aplicação de modificar algo para esse formato em específico e usá-lo para mover um objeto sobre uma superfície com menos atrito) não existe sem nós, portanto inventada. 

agora outra pergunta, porque o 1 é o 1 e nao 2? tipo porque que nao se fala 2 1 3, olhando parece logico que é 1 2 3, porém alguem ensinou a gente q 1 é igual a 1 e 2 é 1+1, mas porque nao poderia ser 2 é 2 e 1 é 2+2

@Giovanni essas palavras "descoberta" e "inventada".

Foram criadas para quando o criamos novas ações ou quando descobrimos que o que é humanidade?

@FlyCavok, formas circulares existem no universo, mesmo em suporte material, muito antes da descoberta da roda. O ser humano apenas adaptou essa forma para uso específico. Mas, para falar a verdade, eu dei esses exemplos apenas para ilustrar a preexistência das fórmulas matemáticas, já que é senso comum, em nosso meio, que coisas como a roda foram descobertas. Não acredito que, de fato, o homem tenha descoberto o fogo ou a roda. Esses elementos sempre estiveram com ele, desde o início da criação.

O pensamento é um suporte humano.

Concluir que um certo conjunto de regras para o pensamento possa gerar um resultado para além do humano é basicamente questão de opinião, impossível de demonstrar objetivamente.

Podemos mensurar os resultados de nossas ações a partir de nossos modelos de pensamento, mas nunca podemos deixar de ser um observador humano.

Nunca podemos nos tornar o Observador, infinito além dos infinitos, capaz de apreciar o universo em sua inteireza e concluir se aquilo que chamamos "fogo" é realmente a realidade tal como É.

A realidade é inominável, mas tudo que temos para tentar acessá-la são nomes que criamos.

postado por @transdog em 06/03/2024 07:34

agora outra pergunta, porque o 1 é o 1 e nao 2? tipo porque que nao se fala 2 1 3, olhando parece logico que é 1 2 3, porém alguem ensinou a gente q 1 é igual a 1 e 2 é 1+1, mas porque nao poderia ser 2 é 2 e 1 é 2+2

Consenso linguístico e uniformidade de notação no tocante aos nomes e símbolos.

Sobre "1 = 1", princípio da identidade, expresso por Tales de Mileto, consolidado em Aristóteles, na lógica.

O que é, é. O que não é não pode ser.

Matemática é a linguagem humana pra representar a realidade dentro da sua limitada cognição.

Já que estamos falando de matemática e filosofia, uma curiosidade.

Há um grupo significativo de matemáticos e lógicos que rejeita o princípio do terceiro excluído (ou A é, ou A não é e, se não não é, é). Consequentemente rejeita a prova por contradição.

Eles defendem que, para a construção de um objeto matemático, é necessário que se demonstre a existência de pelo menos um elemento desse objeto.

Você não pode provar que X não não pode ser, logo é. Você tem que provar que um elemento de X existe. Isso permite que X também exista como uma abstração sobre o real.

Essa preocupação surge principalmente para conjuntos infinitos. A maioria aceita o terceiro excluído para conjuntos finitos, mas acha que a passagem para o infinito não pode ser tomada como axioma porque permitiria a criação de objetos desvinculados do real.

Achei muito interessante quando tomei contato com essa visão pela primeira vez. Até os princípios lógicos mais fundamentais podem ser postos em dúvida razoável.

Não soube de nenhuma situação em que a lógica clássica levou a um teorema que a lógica construtivista provou ser falso.

Se isso acontecesse, seria... interessante.

O dia em que a lógica clássica for contraditada gentileza pararem o mundo que vou descer.

@Charlito

A lógica construtivista é um subconjunto da lógica clássica e ela geralmente aceita o terceiro excluído para conjuntos finitos. Então não seria uma invalidação total.

Serviria mais para um repensar sobre nossas certezas de mundo.

Na verdade, embora a lógica ainda sobreviva ilesa, dentro da matemática houve vários momentos de ruptura com o que, na época, se chamava de "real".

Conta-se que o pitagórico que provou a irracionalidade da raiz de 2 foi assassinado pelos seus pares, para que esse segredo "perverso" não fosse espalhado.

Demoraram milênios para que a humanidade desenvolvesse o zero. Até então a noção de número sempre teve a função de mapear bijetivamente o real. Cada unidade representa uma existência e contar as unidades representa reconhecer a existência de uma coleção de existências semelhantes.

Se os números estão para o que existe, como poderia haver um número para o que não existe?

Resistência semelhante houve para o reconhecimento dos números negativos.

A pior de todas foi a que envolveu os números complexos. Tanto que até hoje há um conjunto dos números "reais" e os complexos não reais têm uma parte "imaginária".

Outra grande revolução ocorreu na geometria do século XIX, com a criação (descoberta?) das geometrias não-euclidianas, que rejeitam o axioma de que a um ponto exterior a uma reta passa apenas uma única reta chamada paralela.

Esse axioma está fortemente amparado na nossa experiência finita, nas linhas que medimos e chamamos de aproximadamente retas.

Mas será que nossa experiência finita pode ser estendida ao infinito?

Em vão se tentou provar esse axioma como teorema decorrente dos demais. Finalmente foi possível demonstrar que ele não pode decorrer como teorema. Ou é aceito como axioma, ou não é aceito.

E aí o exercício teórico sobre como seria uma geometria sem o axioma das paralelas resultou na geometria hiperbólica e na elíptica.

Números complexos e geometrias não euclidianas são apenas alguns exemplos de sistemas matemáticos formais, que desafiam nossa experiência comum da realidade a partir do que experienciamos.

No entanto, hoje são parte fundamental das ciências em campos muito diversos. O desenvolvimento científico do século XX se deve em grande parte a essa matemática. O próprio dispositivo que estamos usando para acessar este site usa alguns desses conceitos para ser fabricado, desenvolvido e analisado.

Houve um tempo, há pouco mais de um século, em que a matemática era muito menos rigorosa e formal do que é hoje.

O rigor da atualidade nasceu com uma série de contradições descobertas no século XIX dentro da matemática e com a criação da teoria dos conjuntos por Cantor, com seus resultados profundamente pouco intuitivos. Por exemplo, o de que existem infinitos de "tamanhos" (cardinalidades) diferentes. E isso com prova rigorosa, que muitos matemáticos presos à realidade em vão tentaram refutar.

Hoje tudo isso é lugar comum dentro da matemática. Todo estudante de graduação prova isso antes de se formar.

Talvez tenha parecido que os construtivistas são os doidivanas da matemática, com esse papo de rejeitar o terceiro excluído. 

Mas na verdade o grupo mais famoso entre os construtivistas é o dos intuicionistas, que buscam justamente manter esse caráter intuitivo da matemática.

Então de certa forma os construtivistas são legatários dessa busca infinda de conciliar a matemática e a experiência humana do real.

Sendo que a história da matemática, desde os tempos mais antigos, é justamente oposta a isso. Ela vai, e tem ido desde tempos imemoriais, mais e mais para longe do que aceitamos como certeza sobre como o mundo é. Inclusive às vezes gerando sistemas que, embora coerentes internamente, são contraditórios entre si, como no caso das diferentes geometrias.

Por outro lado, apesar de toda a abstração e apesar dos sistemas contraditórios e apesar da sua incompletude, no fim a matemática é a ferramenta por excelência das ciências e tecnologias que nos deram o que nos parece um alto grau de domínio sobre a natureza.

Então, a matemática é criada, como o evidenciam suas contradições, abstrações delirantes e incompletude; ou ela é descoberta, como o evidencia sua aplicabilidade às ciências empíricas e à modelagem do real?

Ou será que o real que reside na mente humana não é o Real? Será que o universo não pode ser dividido em unidades conceituais, mas forma um Todo infinito para além de qualquer conceptualização finita?

postado por @MarkFord em 06/03/2024 07:42

FlyCavok, formas circulares existem no universo, mesmo em suporte material, muito antes da descoberta da roda. O ser humano apenas adaptou essa forma para uso específico. Mas, para falar a verdade, eu dei esses exemplos apenas para ilustrar a preexistência das fórmulas matemáticas, já que é senso comum, em nosso meio, que coisas como a roda foram descobertas. Não acredito que, de fato, o homem tenha descoberto o fogo ou a roda. Esses elementos sempre estiveram com ele, desde o início da criação.

Forma circular sim, mas a roda não é apenas uma forma circular, é a aplicação de uma forma circular para diminuir o atrito e facilitar o movimento. 

postado por @werr3r em 06/03/2024 19:57

oxe Teria algum livro sobre o tema para recomendar? Forte abraço

 

https://www.amazon.com/gp/aw/d/B004NNVFW2/ref=tmm_kin_swatch_0?ie=UTF8&qid=&sr=

@werr3r

Cara, você não disse sobre qual assunto quer um livro. Eu falei sobre muita coisa.

Meus dois primeiros comentários são só minha opinião sobre o assunto. Então as fontes, como diz o meme, são as vozes da minha cabeça.

Os dois últimos foram basicamente sobre história da matemática, com umas pinceladas de curiosidades de outras áreas.

Não gostei muito do material de história da matemática que usei na faculdade, mas salvo engano esse livro aqui é a referência mais comum na área:

A History of Mathematics https://a.co/d/6xbZDIX

Ainda não o li, então não posso falar sobre a qualidade dele. Mas pelo que me disseram é muito bom.

Sobre os assuntos que eu pincelei aí em cima, não conheço um livro voltado ao público leigo, infelizmente.

Se quiser algo mais técnico, este livro aqui de Análise é uma excelente introdução. Acho que qualquer pessoa com uma boa base de nível médio e que já tenha estudado sobre provas matemáticas consegue acompanhar:

Real Analysis: A Long-Form Mathematics Textbook https://a.co/d/3zUoYHS

Em Análise você vai ver sobre isso de cardinalidade dos conjuntos e algumas outras coisas que eu citei.

O autor também tem um livro de teoria das provas, que, pelo estilo dele, também deve ser excelente. Sou doido pra comprar, mas infelizmente o preço nunca baixa.

Mas tem esse livro aqui gratuito e que é usado em muitas universidades conceituadas no exterior:

Book of Proof

Sobre teoria dos conjuntos, esse livro aqui é uma boa primeira leitura:

Naive Set Theory https://a.co/d/87XLCCC

Vai trabalhar com a teoria ingênua dos conjuntos, que é a original de Cantor e a que estudamos no ensino médio. Ela dá origem a alguns paradoxos, o que exigiu o desenvolvimento de uma teoria axiomática.

Esse livro aqui é considerado muito bom. Eu o comprei, mas ainda não estudei, então não posso falar da qualidade:

Axiomatic Set Theory https://a.co/d/6g5vJPW

Mas de forma geral tudo que eu falei, com exceção dos construtivistas, faz meio que parte do caldo geral de conhecimento de um matemático. A maioria desses livros que eu indiquei vai falar de forma incidental sobre vários desses assuntos, como curiosidades ou para reforçar algum tópico.

Sobre os construtivistas eu infelizmente não posso indicar nada. Fiquei sabendo deles através de uma discussão num blog especializado e depois fui pesquisar na internet.

Se você preferir material em vídeo, tem alguns vídeos de canais especializados em divulgação científica ou matemática que falam sobre esses tópicos. Eu já indiquei um aqui bem legal do Veritasium, que se bem me lembro aborda as controvérsias da teoria dos conjuntos de Cantor e vai até o teorema da incompletude.

Depois eu vejo se acho quando tiver mais tempo, e aí coloco aqui.

@oxe,

'A pior de todas foi a que envolveu os números complexos. Tanto que até hoje há um conjunto dos números "reais" e os complexos não reais têm uma parte "imaginária".'

Por experiência prática, reconheço a utilidade da existência dos números complexos.

Na época da falculdade (de engenharia), aprendi que às vezes, senão quase sempre, exercícios apresentados no domínio do tempo (equações diferenciais lineares) eram mais facilmente resolvidos se fossem convertidos para o domínio de frequência (equações algébricas).

Sendo mais específico, o uso dos números complexos auxiliava muito em descobrir a amplitude (parte real) e a fase (parte imaginária) de um determinado ponto num sistema elétrico.

O vídeo do Veritasium que mencionei é este aqui:

Indicação de Video - Math's Fundamental Flaw - Cãotural - Bastter.com

@oxe tem uma outra discussão nas filosofias, além da matemática em si

Eu sou uma anta em filosofia e uma anta ainda maior em matemática. Como um amigo meu diz, minha bisavó que não terminou o primeiro grau está mais perto de mim do que eu estou de alguém que sabe sobre esse assunto.

(Tô respondendo pra ti, mas só pq foi você quem deu corda para a conversa, mas tô na verdade tô respondendo ao vento pelo exercício de pensar)

Uma delas é a pergunta "o que é conhecimento", e isso aí é uma pergunta complicada pacas, algumas derivações dela, por exemplo, de "nao-conhecimento pode gerar conhecimento?" são igualmente complicadas (talvez em infinitos diferentes).

Apesar da ciência hoje se ancorar em não conhecimentos e ser meio auto evidente que progredimos, ainda assim é complicado.

A = A, só é uma das aproximações possíveis para tentar resolver a questão. De que se você conhece A, você sabe que A é A. Então a um conhecimento de que A é igual A.

Mas aí entram nas complicações bem difíceis sobre o que é conhecer A.

É complicado você falar que um número inteiro é inteiro, mas que todos os números tem uma parte complexa, mesmo que a realidade não permita que ela exista "naturalmente" mas permite que ela exista em relação (ou função) de outras coisas.

(Que parágrafo maluco, mas eu acho que ele faz sentido, me diz aí...)

Aí começam as abstrações, e talvez, e de fato é como eu entendo, a matemática não fale das coisas mas de dimensões, relações comportamentos e transformações das coisas (mesmo que entre ela mesma), pq A ou 1 não define uma coisa, mas sim uma dimensão da coisa em relação as outras, e suas interações, dependências e propriedades dentro de certos quadros.

Por exemplo, é curioso que a medida que você saia dos números inteiros para outros constructos, eles perdem propriedades de interações entre eles.

A rigidez das coisas vai se perdendo a medida que você aumenta o nível de complexidade, mesmo que as coisas simplesmente existam na realidade pq são "obrigadas a existirem", não significa que a complexidade delas é simples.

Para pessoas que passaram a estudar processos, as possíveis relações entre as coisas, e as transformações entre as coisas. em detrimento das coisas, isso faz um bocado de sentido (os construcionistas), para quem quer estudar a natureza fundamental daquilo que as coisas são e descobrir a identidade real do universo, fica complicado.

@transdog Se é ou não verdade, não sei, mas já li em algum lugar que foram criados a partir do número de ângulos de cada símbolo. Isso me parece coerente.

@Paulo

Aviso desde já que eu não entendo mesmo desses assuntos. Eu sou autodidata e ainda não estou no nível nem de um bacharel em Matemática, em termos de conteúdo. Eu sei só o mínimo do mínimo.

Mas, cara, é interessante isso que você falou.

Os elementos mais fundantes da Matemática provavelmente são os conjuntos e os mapas (ou funções, ou transformações, ou morfismos, etc.).

Um conjunto é uma coleção de quaisquer coisas, inclusive nada. Não precisa ser de coisas "semelhantes", como no conjunto dos números naturais por exemplo. Pode ser tipo {Paulo, Palácio do Planalto, calopsita, travesseiro}.

O que é importante em um conjunto é que os elementos estejam unicamente determinados. Não pode existir um {Paulo, Paulo}. Então, o conjunto nada mais é que uma seleção de essências individualizadas.

O conjunto está para as coisas assim como os mapas estão para as relações entre as coisas. O que importa para um mapa é que todos os elementos da seleção inicial se transformem em apenas um elemento da seleção final.

A Matemática é uma grande abstração sobre coisas e como elas se relacionam.

Tem uma citação de um matemático do início do século XX que dizia que, naquele momento, era impossível para um estudante de Doutorado saber mais do que 10% de toda a Matemática.

Só que no século XX se produziu mais matemática do que em todo o resto da história humana.

Ou seja, hoje tem matemática pra caramba por aí, muito mais do que qualquer ser humano consegue vislumbrar.

É tanta matemática que uma grande fonte de produção de mais matemática é descobrir padrões entre diferentes ramos da Matemática que estavam ocultos simplesmente porque o pesquisador de um ramo não estava nem ciente da pesquisa no outro.

Enfim, um ramo novo da Matemática é a Teoria das Categorias, que em vez de focar nas coisas, foca mais nas relações entre as coisas.

Ela pode até servir como uma alternativa à Teoria dos Conjuntos para formar a estrutura básica da Matemática. Não são teorias opostas, apenas diferentes perspectivas.

Uma Categoria é uma classe de objetos, uma classe de todas as relações que esses objetos podem formar entre si e uma noção de composição, ou seja, de relação entre um objeto e outro passando por um terceiro.

A composição precisa ser associativa, ou seja, se A se relaciona com B e, depois, a relação AB se relaciona com C, o resultado é igual a de B se relacionar com C e depois A se relacionar com a relação BC. 

E precisa haver uma relação identidade para cada objeto, tal que a composição da relação AB com a relação identidade de B é a relação AB e a composição da relação identidade de A com a relação AB também é a relação AB. Logo, a relação identidade leva o objeto A a si mesmo.

O que significa que em vez de olhar para as essências do que as coisas são, passamos a olhar para as relações que as coisas estabelecem entre si. Você é a relação que estabelece com si mesmo e com as outras coisas.

Como eu disse, isso não invalida nada que já era feito antes. É só outra perspectiva, que facilita encontrar padrões que antes não estavam evidentes.

Podemos ver que duas coisas, que pareciam diferentes, analisadas em ramos diferentes da Matemática, se relacionam consigo mesmo e com as outras coisas da mesma forma e, portanto, são "parecidas" o suficiente para que eu consiga pegar a teoria de um canto e aproveitar no outro.

E é bem legal isso porque, na Matemática, existem diferentes noções de igualdade entre as coisas. Então, dentro de certa perspectiva, essas duas coisas são "iguais".

kkkk é textão atrás do outro. Eu fico obcecado demais com essas coisas, vixe.

Às vezes eu me sinto como uma criança numa loja de doces. Tem tanta coisa interessante e eu quero comer tudo logo de uma vez e mostrar pra todo o mundo que o doce é gostoso.

Pior que minhas obsessões vêm em ondas. Faz um ano, um ano e meio, na época daqueles desafios de programação aqui no site, era só estudando isso. Passei um tempo sem nem conseguir dormir direito, era tomando banho pensando nisso, comer pensando nisso... Foram vários meses até me acalmar. Aliás, tive contato com a Teoria das Categorias enquanto estudava programação funcional.

Aí agora, depois dessa conversa, já to com vontade de voltar a estudar Álgebra. E é uma coisa assim, repentina e forte, mal consigo trabalhar quando essas vontades vêm.

Pior que é só fogo de palha, nunca dura o suficiente para virar algo construtivo. Eu aprendo, claro, e tudo que você aprende consegue levar para a vida. Mas não é algo que poderia transformar em trabalho, por exemplo.

Bem, pelo menos eu me divirto, né? kkkk

Enfim, foi mal aí pelas paredes de texto, galera. Vou me aquietar agora.

@oxe nem a galera que estuda isso sabe o que fazer com isso heheheh
eles só estão em uma profissão que deixa eles brincarem com isso.

postado por @oxe em 07/03/2024 11:58

Paulo

Aviso desde já que eu não entendo mesmo desses assuntos. Eu sou autodidata e ainda não estou no nível nem de um bacharel em Matemática, em termos de conteúdo. Eu sei só o mínimo do mínimo.

Mas, cara, é interessante isso que você falou.

Os elementos mais fundantes da Matemática provavelmente são os conjuntos e os mapas (ou funções, ou transformações, ou morfismos, etc.).

Um conjunto é uma coleção de quaisquer coisas, inclusive nada. Não precisa ser de coisas "semelhantes", como no conjunto dos números naturais por exemplo. Pode ser tipo {Paulo, Palácio do Planalto, calopsita, travesseiro}.

O que é importante em um conjunto é que os elementos estejam unicamente determinados. Não pode existir um {Paulo, Paulo}. Então, o conjunto nada mais é que uma seleção de essências individualizadas.

O conjunto está para as coisas assim como os mapas estão para as relações entre as coisas. O que importa para um mapa é que todos os elementos da seleção inicial se transformem em apenas um elemento da seleção final.

A Matemática é uma grande abstração sobre coisas e como elas se relacionam.

Tem uma citação de um matemático do início do século XX que dizia que, naquele momento, era impossível para um estudante de Doutorado saber mais do que 10% de toda a Matemática.

Só que no século XX se produziu mais matemática do que em todo o resto da história humana.

Ou seja, hoje tem matemática pra caramba por aí, muito mais do que qualquer ser humano consegue vislumbrar.

É tanta matemática que uma grande fonte de produção de mais matemática é descobrir padrões entre diferentes ramos da Matemática que estavam ocultos simplesmente porque o pesquisador de um ramo não estava nem ciente da pesquisa no outro.

Enfim, um ramo novo da Matemática é a Teoria das Categorias, que em vez de focar nas coisas, foca mais nas relações entre as coisas.

Ela pode até servir como uma alternativa à Teoria dos Conjuntos para formar a estrutura básica da Matemática. Não são teorias opostas, apenas diferentes perspectivas.

Uma Categoria é uma classe de objetos, uma classe de todas as relações que esses objetos podem formar entre si e uma noção de composição, ou seja, de relação entre um objeto e outro passando por um terceiro.

A composição precisa ser associativa, ou seja, se A se relaciona com B e, depois, a relação AB se relaciona com C, o resultado é igual a de B se relacionar com C e depois A se relacionar com a relação BC. 

E precisa haver uma relação identidade para cada objeto, tal que a composição da relação AB com a relação identidade de B é a relação AB e a composição da relação identidade de A com a relação AB também é a relação AB. Logo, a relação identidade leva o objeto A a si mesmo.

O que significa que em vez de olhar para as essências do que as coisas são, passamos a olhar para as relações que as coisas estabelecem entre si. Você é a relação que estabelece com si mesmo e com as outras coisas.

Como eu disse, isso não invalida nada que já era feito antes. É só outra perspectiva, que facilita encontrar padrões que antes não estavam evidentes.

Podemos ver que duas coisas, que pareciam diferentes, analisadas em ramos diferentes da Matemática, se relacionam consigo mesmo e com as outras coisas da mesma forma e, portanto, são "parecidas" o suficiente para que eu consiga pegar a teoria de um canto e aproveitar no outro.

E é bem legal isso porque, na Matemática, existem diferentes noções de igualdade entre as coisas. Então, dentro de certa perspectiva, essas duas coisas são "iguais".

Oxe, na matemática existem estruturas bem mais liberais, é um tipo de pode tudo. Na álgebra se estuda muito disso. Você constrói as relações e depois avalia se os construtos satisfazem critérios que estabelecem uma álgebra minimamante interessante. Sistema binário, lógica booleana, mas não para aí. As estruturas se chamam corpos, anéis e outras definições mais. Você pode ter, por exemplo, um corpo perfeito, que seria um corpo que satisfaz critérios da álgebra para ser perfeito. Podem ter corpos que não são perfeitos com ou sem utilidade, também.
Na análise vc tem os espaços, que podem ser muuuiito mais doidos do que parece ao olho leigo. Tinha até uma piada: "o que é amarelo, vetorial, normado e completo" "é um espaço de bananach", piada com o espaço de banach. 
No cálculo, você pode pegar um livro como spivak, que constrói pelo sistema axiomatico (axiomas + definições+ teoremas) e você tem o primeiro vislumbre da Incompletude de Gödel: os primeiros 12 axiomas são evidentes, como 1 != 0. Já o 13o é um monstro, só consegue entender depois de estudar 1 ano 8 horas por semana (tempo do estudante padrão começando o bacharel). 
Na geometria, entra Euclides e o (opcional) axioma das paralelas, que tirando ou colocando o fato das paralelas poderem ou não se encontrar vc contorce o universo (Gödel novamente). 
Na generalização de Gödel, você percebe que é sempre possível criar um problema que o seu sistema axiomatico não prova nem desaprova, que lhe obriga a criar um novo axioma se quiser deixar o sistema "completo". Mas isso é recursivo/infinito, logo todo sistema formal não trivial, é incompleto. 
Nesse tudo pode, cria-se inúmeros sistemas formais, TODOS obrigatóriamente incompletos, que as ciências buscam usar para algo, ou fica como exercício mental. 

@maxete a minha vitória do dia foi descobrir que eu consigo compreender minimamente o que você escreveu. Pelo menos a ideia geral eu acho que entendi.
 

kkk @oxe eu entendo, querido. Ah, se tem algo que eu entendo é essa dor aí. Tô até rindo de nervoso.

Vou pensar em civilization V para ver se acalma um pouco a mente, essa obsessão eu sei manejar melhor

@maxete

Comecei a estudar Álgebra Abstrata, mas ainda estou bem no começo, em teoria dos grupos. É bem legal, né?

@Paulo

A Álgebra surgiu como uma abstração em cima da aritmética, ou seja, das operações com os números.

Toda a ideia dela é, em vez de tratar de um objeto específico, tratar de todos os objetos ao mesmo tempo, através da criação de abstrações que representam qualquer objeto da mesma "natureza", ou seja, que atendem à mesma definição.

Exemplos básicos são as equações. Você tem uma abstração em cima de um conjunto de números, geralmente representada por letras. Uma vez que eu conclua algo sobre essas abstrações, posso concluir algo sobre todos os números que podem ser inseridos no lugar daquela letra.

Isso é um momento muito importante da educação matemática das crianças. Até então a matemática que elas usam está ligada fortemente à experiência concreta. Elas podem raciocinar as operações com números a partir do movimento dos dedos, da divisão de objetos entre pessoas, etc. Elas podem visualizar retas nas linhas de um papel ou no batente de uma porta.

Mas quando a álgebra entra, a matemática alcança um outro nível de abstração, que só vai aumentar com o tempo. E aí muitas crianças (e adultos) eventualmente chegam a um ponto de tratar a matemática como uma espécie de caixa preta misteriosa. Você decora a fórmula, você repete a fórmula, você marca a resposta.

Muitos professores começam a fazer meio que um malabarismo para tentar encaixar essa teoria na vida real, através de exemplos de modelagem matemática.

Tipo, "Olha, a função exponencial pode ser usada na sua vida financeira, tem os juros compostos", etc.

Na faculdade de Matemática, porém, quando você sai do ciclo básico e começa as cadeiras profissionais, a perspectiva do que significa aprender e fazer matemática muda. Você precisa ser capaz de raciocinar matematicamente, desenvolver o que eles chamam de maturidade matemática. Que é basicamente ser capaz de se comunicar na linguagem matemática, ler artigos e provar teoremas.

As questões deixam de ser "calcule X" e passam a ser "prove que X tem a propriedade Y", ou simplesmente "prove o teorema Z".

Geralmente a primeira cadeira que tem esse "choque" de perspectiva é Álgebra Abstrata (ou Álgebra Moderna).

Nela, em vez de você abstrair números específicos, você abstrai em cima dos próprios conjuntos, numéricos ou não, e de suas operações. Essas abstrações recebem definições específicas, que enunciam seus requisitos, as coisas que têm que existir para algo se encaixar na abstração.

Quando você estuda equações, raramente isso passa pela sua cabeça porque as coisas que se encaixam na abstração comumente são apenas números e você não se preocupa muito com o que números são. Números são apenas abstrações imediatas em cima de dedos ou comprimentos.

Então você vai acrescentando abstração em cima de abstração e vai observando padrões num nível muito abstrato, que muitas vezes não tem nada a ver com sua experiência do real, nem remotamente.

Essas abstrações não são necessariamente verticais, uma em cima da outra. Às vezes são horizontais, funcionam em paralelo. Você pode aplicar uma ou outra em cima da mesma coisa. São como perspectivas diferentes sobre os mesmos objetos.

Então as abstrações e a Matemática em geral acaba funcionando meio que como um jogo de lógica. A brincadeira é provar teoremas e o nível hard é provar teoremas de forma elegante. Na graduação você prova os teoremas que já existem e na pós você prova teoremas novos.

E outra coisa é que essa divisão de ramos, tipo Álgebra, Análise, Topologia, etc., é mais para fins didáticos. Na prática tudo funciona da mesma forma, abstração, definição, teoremas. Você pode tratar um objeto geométrico algebricamente, por exemplo. São perspectivas sobre as coisas.

Aliás, é isso que é a geometria analítica que vemos no ensino médio. Pega as figuras e trata como equações num plano cartesiano.

@maxete

Tem um livro muito legal de introdução à teoria dos grafos, em que o autor fala isso, que a Matemática é como um jogo. O livro é escrito para um estudante de ensino médio e ele é todo tratado nessa perspectiva.

Da mesma forma que no War você tem lá o mapa e as pecinhas e o jogo tem as regras lá, na Teoria dos Grafos você tem os vértices e as arestas, que têm que seguir certas regras do jogo. O objetivo é achar teoremas e o jogo pode ser jogado solo ou cooperativo.

O legal é que a teoria dos grafos é extremamente útil na vida real, todo estudante de Ciências da Computação vê na graduação. Os algoritmos que operam em grafos são absurdamente úteis em qualquer situação na qual você tenha uma rede de pontos (pessoas, casas, etc) e de conexões entre esses pontos (relações em rede social, ruas, etc) e você quer, por exemplo, caminhar de um ponto a outro.

Mas o autor escolheu trazer sem toda essa bagagem. A ideia dele é ilustrar que, no fim das contas, para o matemático, tudo é apenas um grande jogo de lógica muito divertido.

Acho essa perspectiva estética maravilhosa.

O livro é esse aqui, se quiser brincar:

Introduction to Graph Theory https://a.co/d/d9BUDzE

@maxete

Tava folheando hoje esse livro que te indiquei logo aí em cima, de teoria dos grafos. No primeiro capítulo, o autor vai falar um pouco sobre matemática pura, dentro dessa visão de matemática como uma puzzle, algo pra se divertir. Que é a linha do livro e tal.

Achei que o autor tem uma opinião parecida com a sua.

Talvez interesse ao @Paulo e ao @Charlito também.

@werr3r tentei ler esse livro desisti por volta da página 100. Foi o mais perto que cheguei de fundir o cérebro. Espetacular.

postado por @oxe em 05/04/2024 16:05

muito bom. Obrigado por enviar o exerto

postado por @oxe em 05/04/2024 16:05

Bela perspectiva. Fez até barulho esse pedaço de "parede das certezas" que caiu aqui.

Não tem ponto, não tem reta, não tem plano.. somente artifícios para capturar a realidade intangível.

O ser humano sempre tentando vestir o Universo com um terno bem alinhado.

postado por @oxe em 05/04/2024 16:05

O mais legal nessa brincadeira de abstração e geometria é as experiências, tipo retirar o axioma das paralelas e notar que ainda sobra um grande conjunto de teoremas que continuam válidos, e outros tantos novos que se tornam válidos.
É a geometria não euclidiana. Eu gostava demais de estudar geometria (descritiva). Pena que eu era ruim em matemática.... Só me sobrou engenharia mesmo

@maxete espero que não seja engenharia civil..rs

Sobre isso que o @maxete falou logo aí acima, e também sobre o teorema da incompletude, de que falaram no começo do tópico, tem esse outro excerto legal aqui.

É de outro livro que curto muito, uma introdução bem tranquila à Análise Real, o ramo da Matemática que formaliza o Cálculo. Este livro aqui:

Real Analysis: A Long-Form Mathematics Textbook https://a.co/d/bSiFUG6

Inventada, tal como a gravidade 

Hoje esse vídeo apareceu nas minhas sugestões do YT e acho que é um complemento legal pra conversa deste tópico.

Vai falar sobre o que são essas tentativas de formalizar as bases da matemática, por que elas existem, por que há mais de uma, etc.

O cara que tá falando é um teorista (ou seria teórico?) dos conjuntos, mas a conversa é bem informal, sem se aprofundar em nada técnico.

@Paulo

A = A

Puro suco de Parmênides. Ele falou de um jeito um pouco diferente:

"O que é, é. O que não é não pode ser."

O vídeo acima que o Oxe mandou, só vendo mais umas duas vezes e lendo algum texto complementar pra absorver por inteiro.

No Universo da matemática sou um tolo absolutista. Tenho ciência desse meu limite, dessa estreiteza de visão de mundo.

O que é, às vezes, pode não ser. Ah, essa realidade e suas terríveis variáveis incontroláveis..

Malditos Heraclitianos, que nos carregam de dúvidas.

@Charlito tá tranquilo, cara. Eu não sei matemática o suficiente para ser algo.