Matemática é inventada, descoberta, ou ambos ?
comentada em 20/06/2024 09:27

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Geralmente, as respostas para essa pergunta se dividem em dois grandes grupos e esses grupos, por sua vez, dependem da visão de mundo do respondente. Em geral, se o respondente parte de premissas filosóficas materialistas (a realidade última é composta exclusivamente pela matéria), ele tenderá a dizer que a matemática é inventada. Ainda em geral, se o respondente parte de premissas filosóficas idealistas (a realidade última é composta por algo além da matéria), ele tenderá a dizer que a matemática é descoberta. 
Eu, particularmente, estou convencido de que as premissas idealistas explicam a realidade dos fatos com mais precisão. Logo, defendo que a matemática é descoberta. 
Apesar de expor minha visão, não argumentei adequadamente para não deixar o comentário ainda mais extenso. 

PS: obviamente, a notação matemática é uma convenção (e, portanto, inventada). Mas a parte importante da matemática (os conceitos matemáticos) é descoberta.

PS2: o teorema da incompletude de Gödel seria um desafio para a visão “a matemática é descoberta”.

Is Mathematics Invented or Discovered? | Roger Penrose

Nossa, eu tive essa discussão com colegas do mestrado. Não conseguimos chegar a nenhuma conclusão hahaha

Meus dez centavos: todo construto humano é uma limitada tentativa de explicar a realidade.

Alguns são mais aderentes à realidade. Outros são delírios.

A matemática é só uma linguagem bastante coerente com as coisas. As coisas são as coisas.

Dualidade entre númeno, aquilo que é, e fenômeno, aquilo que aparece para nós, que nossos sentidos alcançam, podemos perceber ou medir com nossas máquinas atuais.

Meio platônico, mas gosto desse jeito de pensar a existência.

A matemática é a realidade mais exata que temos para o momento. Mas não exatamente precisa.

Um professor meu, Fausto Castilho, uma vez disse em aula: preciso é conceito, número é apenas exato. Destruiu, com uma frase, todas as minhas certezas.

Quem faz conta não entende o conceito, quem entende o conceito não precisa fazer conta

Mais em: "Gödel Escher Bach: an eternal golden braid" 

By exploring common themes in the lives and works of logician Kurt Gödel, artist M. C. Escher, and composer Johann Sebastian Bach, the book expounds concepts fundamental to mathematics, symmetry, and intelligence. Through short stories, illustrations, and analysis, the book discusses how systems can acquire meaningful context despite being made of "meaningless" elements. It also discusses self-reference and formal rules, isomorphism, what it means to communicate, how knowledge can be represented and stored, the methods and limitations of symbolic representation, and even the fundamental notion of "meaning" itself.
 
In response to confusion over the book's theme, Hofstadter emphasized that Gödel, Escher, Bach is not about the relationships of mathematics, art, and music—but rather about how cognition emerges from hidden neurological mechanisms. One point in the book presents an analogy about how individual neurons in the brain coordinate to create a unified sense of a coherent mind by comparing it to the social organization displayed in a colony of ants.[1][2]
 
Gödel, Escher, Bach won the Pulitzer Prize for general non-fiction[3] and the National Book Award for Science Hardcover.[4][a] Despite the success of the book, Hofstadter felt that audiences did not adequately grasp what he felt was the main idea of the book: strange loops. In an attempt to remedy this, he published I Am a Strange Loop in 2007.

Como vejo a sabedoria humana:



Quem chegar primeiro ganha um queijo.

A realidade é infinita, nós somos finitos.

Mais do que infinita, a realidade é densa. Entre quaisquer dois pontos da realidade, existe uma infinidade de realidade.

Não é que nossa compreensão seja limitada no sentido de que temos algumas peças de um quebra-cabeças gigante.

Nossa compreensão é limitada no sentido de que não temos peça alguma. Cada peça é infinita.

Temos o fantasma de uma pecinha, uma redução finita que criamos. E achamos que é a peça porque termos essa pecinha nos permite gerar o que nos parece efeitos reais.

Discutir se a matemática é descoberta ou inventada pra mim não faz sentido porque nem a realidade (que compreendemos) é a realidade, nem aquilo que inventamos deixa de ser real (para a realidade que compreendemos).

É inventada. Matemática é uma filosofia, não é uma ciência. É um construto da abstração humana, idealização suprema que, como tal, é Incompleta (sempre produz problemas que seu próprio sistema formal, seja ele qual for, é incapaz de resolver). Gödel provou isso, como foi citado aí em cima. 
Entender o princípio da Incompletude e continuar amando a matemática (ou ama-la ainda mais) é uma prova de fogo para os amadores nesta filosofia.

"O mundo é a totalidade dos fatos, não das coisas"
L. Wittgenstein 

Descoberta, assim como dizem que o fogo foi descoberto. As fórmulas matemáticas são inerentes à estrutura abstrata e coerente do universo. Existem, independentemente de qualquer formulação explícita em algum suporte material ou humano. 

É, mais ou menos, como as descobertas da roda, do fogo ou da fissão nuclear. Todas essas coisas preexistiam como possibilidade na estrutura abstrata e lógica do universo, mas dependiam, para serem evidenciadas externamente, de desenvolvimentos em suporte material ou humano.

Acho que por não existir no mundo real, a matemática é inventada, enquanto a física é descoberta.

postado por @MarkFord em 06/03/2024 07:29

É, mais ou menos, como as descobertas da roda, do fogo ou da fissão nuclear. Todas essas coisas preexistiam como possibilidade na estrutura abstrata e lógica do universo, mas dependiam, para ser evidenciadas externamente, de desenvolvimentos em suporte material ou humano. 

No caso, o fogo e a fissão existem no mundo com ou sem o ser humano. Já a roda (a aplicação de modificar algo para esse formato em específico e usá-lo para mover um objeto sobre uma superfície com menos atrito) não existe sem nós, portanto inventada. 

agora outra pergunta, porque o 1 é o 1 e nao 2? tipo porque que nao se fala 2 1 3, olhando parece logico que é 1 2 3, porém alguem ensinou a gente q 1 é igual a 1 e 2 é 1+1, mas porque nao poderia ser 2 é 2 e 1 é 2+2

@Giovanni essas palavras "descoberta" e "inventada".

Foram criadas para quando o criamos novas ações ou quando descobrimos que o que é humanidade?

@FlyCavok, formas circulares existem no universo, mesmo em suporte material, muito antes da descoberta da roda. O ser humano apenas adaptou essa forma para uso específico. Mas, para falar a verdade, eu dei esses exemplos apenas para ilustrar a preexistência das fórmulas matemáticas, já que é senso comum, em nosso meio, que coisas como a roda foram descobertas. Não acredito que, de fato, o homem tenha descoberto o fogo ou a roda. Esses elementos sempre estiveram com ele, desde o início da criação.

O pensamento é um suporte humano.

Concluir que um certo conjunto de regras para o pensamento possa gerar um resultado para além do humano é basicamente questão de opinião, impossível de demonstrar objetivamente.

Podemos mensurar os resultados de nossas ações a partir de nossos modelos de pensamento, mas nunca podemos deixar de ser um observador humano.

Nunca podemos nos tornar o Observador, infinito além dos infinitos, capaz de apreciar o universo em sua inteireza e concluir se aquilo que chamamos "fogo" é realmente a realidade tal como É.

A realidade é inominável, mas tudo que temos para tentar acessá-la são nomes que criamos.

postado por @transdog em 06/03/2024 07:34

agora outra pergunta, porque o 1 é o 1 e nao 2? tipo porque que nao se fala 2 1 3, olhando parece logico que é 1 2 3, porém alguem ensinou a gente q 1 é igual a 1 e 2 é 1+1, mas porque nao poderia ser 2 é 2 e 1 é 2+2

Consenso linguístico e uniformidade de notação no tocante aos nomes e símbolos.

Sobre "1 = 1", princípio da identidade, expresso por Tales de Mileto, consolidado em Aristóteles, na lógica.

O que é, é. O que não é não pode ser.

Matemática é a linguagem humana pra representar a realidade dentro da sua limitada cognição.

Já que estamos falando de matemática e filosofia, uma curiosidade.

Há um grupo significativo de matemáticos e lógicos que rejeita o princípio do terceiro excluído (ou A é, ou A não é e, se não não é, é). Consequentemente rejeita a prova por contradição.

Eles defendem que, para a construção de um objeto matemático, é necessário que se demonstre a existência de pelo menos um elemento desse objeto.

Você não pode provar que X não não pode ser, logo é. Você tem que provar que um elemento de X existe. Isso permite que X também exista como uma abstração sobre o real.

Essa preocupação surge principalmente para conjuntos infinitos. A maioria aceita o terceiro excluído para conjuntos finitos, mas acha que a passagem para o infinito não pode ser tomada como axioma porque permitiria a criação de objetos desvinculados do real.

Achei muito interessante quando tomei contato com essa visão pela primeira vez. Até os princípios lógicos mais fundamentais podem ser postos em dúvida razoável.

Não soube de nenhuma situação em que a lógica clássica levou a um teorema que a lógica construtivista provou ser falso.

Se isso acontecesse, seria... interessante.

O dia em que a lógica clássica for contraditada gentileza pararem o mundo que vou descer.

@Charlito

A lógica construtivista é um subconjunto da lógica clássica e ela geralmente aceita o terceiro excluído para conjuntos finitos. Então não seria uma invalidação total.

Serviria mais para um repensar sobre nossas certezas de mundo.

Na verdade, embora a lógica ainda sobreviva ilesa, dentro da matemática houve vários momentos de ruptura com o que, na época, se chamava de "real".

Conta-se que o pitagórico que provou a irracionalidade da raiz de 2 foi assassinado pelos seus pares, para que esse segredo "perverso" não fosse espalhado.

Demoraram milênios para que a humanidade desenvolvesse o zero. Até então a noção de número sempre teve a função de mapear bijetivamente o real. Cada unidade representa uma existência e contar as unidades representa reconhecer a existência de uma coleção de existências semelhantes.

Se os números estão para o que existe, como poderia haver um número para o que não existe?

Resistência semelhante houve para o reconhecimento dos números negativos.

A pior de todas foi a que envolveu os números complexos. Tanto que até hoje há um conjunto dos números "reais" e os complexos não reais têm uma parte "imaginária".

Outra grande revolução ocorreu na geometria do século XIX, com a criação (descoberta?) das geometrias não-euclidianas, que rejeitam o axioma de que a um ponto exterior a uma reta passa apenas uma única reta chamada paralela.

Esse axioma está fortemente amparado na nossa experiência finita, nas linhas que medimos e chamamos de aproximadamente retas.

Mas será que nossa experiência finita pode ser estendida ao infinito?

Em vão se tentou provar esse axioma como teorema decorrente dos demais. Finalmente foi possível demonstrar que ele não pode decorrer como teorema. Ou é aceito como axioma, ou não é aceito.

E aí o exercício teórico sobre como seria uma geometria sem o axioma das paralelas resultou na geometria hiperbólica e na elíptica.

Números complexos e geometrias não euclidianas são apenas alguns exemplos de sistemas matemáticos formais, que desafiam nossa experiência comum da realidade a partir do que experienciamos.

No entanto, hoje são parte fundamental das ciências em campos muito diversos. O desenvolvimento científico do século XX se deve em grande parte a essa matemática. O próprio dispositivo que estamos usando para acessar este site usa alguns desses conceitos para ser fabricado, desenvolvido e analisado.

Houve um tempo, há pouco mais de um século, em que a matemática era muito menos rigorosa e formal do que é hoje.

O rigor da atualidade nasceu com uma série de contradições descobertas no século XIX dentro da matemática e com a criação da teoria dos conjuntos por Cantor, com seus resultados profundamente pouco intuitivos. Por exemplo, o de que existem infinitos de "tamanhos" (cardinalidades) diferentes. E isso com prova rigorosa, que muitos matemáticos presos à realidade em vão tentaram refutar.

Hoje tudo isso é lugar comum dentro da matemática. Todo estudante de graduação prova isso antes de se formar.

Talvez tenha parecido que os construtivistas são os doidivanas da matemática, com esse papo de rejeitar o terceiro excluído. 

Mas na verdade o grupo mais famoso entre os construtivistas é o dos intuicionistas, que buscam justamente manter esse caráter intuitivo da matemática.

Então de certa forma os construtivistas são legatários dessa busca infinda de conciliar a matemática e a experiência humana do real.

Sendo que a história da matemática, desde os tempos mais antigos, é justamente oposta a isso. Ela vai, e tem ido desde tempos imemoriais, mais e mais para longe do que aceitamos como certeza sobre como o mundo é. Inclusive às vezes gerando sistemas que, embora coerentes internamente, são contraditórios entre si, como no caso das diferentes geometrias.

Por outro lado, apesar de toda a abstração e apesar dos sistemas contraditórios e apesar da sua incompletude, no fim a matemática é a ferramenta por excelência das ciências e tecnologias que nos deram o que nos parece um alto grau de domínio sobre a natureza.

Então, a matemática é criada, como o evidenciam suas contradições, abstrações delirantes e incompletude; ou ela é descoberta, como o evidencia sua aplicabilidade às ciências empíricas e à modelagem do real?

Ou será que o real que reside na mente humana não é o Real? Será que o universo não pode ser dividido em unidades conceituais, mas forma um Todo infinito para além de qualquer conceptualização finita?

postado por @MarkFord em 06/03/2024 07:42

FlyCavok, formas circulares existem no universo, mesmo em suporte material, muito antes da descoberta da roda. O ser humano apenas adaptou essa forma para uso específico. Mas, para falar a verdade, eu dei esses exemplos apenas para ilustrar a preexistência das fórmulas matemáticas, já que é senso comum, em nosso meio, que coisas como a roda foram descobertas. Não acredito que, de fato, o homem tenha descoberto o fogo ou a roda. Esses elementos sempre estiveram com ele, desde o início da criação.

Forma circular sim, mas a roda não é apenas uma forma circular, é a aplicação de uma forma circular para diminuir o atrito e facilitar o movimento. 

postado por @werr3r em 06/03/2024 19:57

oxe Teria algum livro sobre o tema para recomendar? Forte abraço

 

https://www.amazon.com/gp/aw/d/B004NNVFW2/ref=tmm_kin_swatch_0?ie=UTF8&qid=&sr=

@werr3r

Cara, você não disse sobre qual assunto quer um livro. Eu falei sobre muita coisa.

Meus dois primeiros comentários são só minha opinião sobre o assunto. Então as fontes, como diz o meme, são as vozes da minha cabeça.

Os dois últimos foram basicamente sobre história da matemática, com umas pinceladas de curiosidades de outras áreas.

Não gostei muito do material de história da matemática que usei na faculdade, mas salvo engano esse livro aqui é a referência mais comum na área:

A History of Mathematics https://a.co/d/6xbZDIX

Ainda não o li, então não posso falar sobre a qualidade dele. Mas pelo que me disseram é muito bom.

Sobre os assuntos que eu pincelei aí em cima, não conheço um livro voltado ao público leigo, infelizmente.

Se quiser algo mais técnico, este livro aqui de Análise é uma excelente introdução. Acho que qualquer pessoa com uma boa base de nível médio e que já tenha estudado sobre provas matemáticas consegue acompanhar:

Real Analysis: A Long-Form Mathematics Textbook https://a.co/d/3zUoYHS

Em Análise você vai ver sobre isso de cardinalidade dos conjuntos e algumas outras coisas que eu citei.

O autor também tem um livro de teoria das provas, que, pelo estilo dele, também deve ser excelente. Sou doido pra comprar, mas infelizmente o preço nunca baixa.

Mas tem esse livro aqui gratuito e que é usado em muitas universidades conceituadas no exterior:

Book of Proof

Sobre teoria dos conjuntos, esse livro aqui é uma boa primeira leitura:

Naive Set Theory https://a.co/d/87XLCCC

Vai trabalhar com a teoria ingênua dos conjuntos, que é a original de Cantor e a que estudamos no ensino médio. Ela dá origem a alguns paradoxos, o que exigiu o desenvolvimento de uma teoria axiomática.

Esse livro aqui é considerado muito bom. Eu o comprei, mas ainda não estudei, então não posso falar da qualidade:

Axiomatic Set Theory https://a.co/d/6g5vJPW

Mas de forma geral tudo que eu falei, com exceção dos construtivistas, faz meio que parte do caldo geral de conhecimento de um matemático. A maioria desses livros que eu indiquei vai falar de forma incidental sobre vários desses assuntos, como curiosidades ou para reforçar algum tópico.

Sobre os construtivistas eu infelizmente não posso indicar nada. Fiquei sabendo deles através de uma discussão num blog especializado e depois fui pesquisar na internet.

Se você preferir material em vídeo, tem alguns vídeos de canais especializados em divulgação científica ou matemática que falam sobre esses tópicos. Eu já indiquei um aqui bem legal do Veritasium, que se bem me lembro aborda as controvérsias da teoria dos conjuntos de Cantor e vai até o teorema da incompletude.

Depois eu vejo se acho quando tiver mais tempo, e aí coloco aqui.

@oxe,

'A pior de todas foi a que envolveu os números complexos. Tanto que até hoje há um conjunto dos números "reais" e os complexos não reais têm uma parte "imaginária".'

Por experiência prática, reconheço a utilidade da existência dos números complexos.

Na época da falculdade (de engenharia), aprendi que às vezes, senão quase sempre, exercícios apresentados no domínio do tempo (equações diferenciais lineares) eram mais facilmente resolvidos se fossem convertidos para o domínio de frequência (equações algébricas).

Sendo mais específico, o uso dos números complexos auxiliava muito em descobrir a amplitude (parte real) e a fase (parte imaginária) de um determinado ponto num sistema elétrico.

O vídeo do Veritasium que mencionei é este aqui:

Indicação de Video - Math's Fundamental Flaw - Cãotural - Bastter.com